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2020年长安大学609数学分析考试大纲考研内容及范围

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  • 实数集与函数:实数及其性质,绝对值与不等式,区间与邻域,有界集与确界原理,函数的定义、表示及四则运算,复合函数,反函数,初等函数,有界函数,单调函数,奇函数和偶函数,周期函数;
  • 数列的极限:函数的极限的概念、性质和存在的条件;
  • 函数的极限:函数的极限的概念、性质和存在的条件,两个重要极限,无穷大量与无穷小量的概念、阶的比较,曲线的渐近线;
  • 函数的连续性:函数的连续性的概念、性质,初等函数的连续性;
  • 导数和微分:导数的概念,求导法则,参变量函数的导数,高阶导数,微分的概念、运算法则,高阶微分,微分在近似计算中的应用;
  • 微分中值定理及其应用:拉格朗日中值定理和函数的单调性,柯西中值定理和不定式极限,带有佩亚诺余项的泰勒公式、带有拉格朗日型余项的泰勒公式及在近似计算中的应用,函数的极值与最值,函数的凸性与拐点,函数的图象;
  • 实数的完备性:区间套定理与柯西收敛准则,聚点定理与有限覆盖定理,闭区间上连续函数性质的证明;
  • 不定积分:不定积分的概念与基本积分公式,不定积分换元积分法与分步积分法,有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理根式的不定积分;
  • 定积分:定积分的概念,牛顿——莱布尼兹公式,可积的条件,定积分的的基本性质,积分中值定理,变限积分与原函数的存在性,定积分的换元积分法与分步积分法,泰勒公式的积分型余项;
  1. 定积分的应用:平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面的面积,液体静压力、引力、功与平均功率的计算;

11.反常积分:反常积分的概念,无穷积分的性质与收敛判别,瑕积分的性质与收敛判别;

12.数项级数:级数的收敛性,正项级数收敛性的一般判别原则,比式判别法、根式判别法和积分判别法,交错级数,绝对收敛级数及性质,阿贝尔判别法和狄利克雷判别法;

13.函数列与函数项级数:函数列及其一致收敛性,函数项级数及其一致收敛性,函数项级数一致收敛性判别法,一致收敛性函数列与函数项级数的性质;

14.幂级数:幂级数的收敛区间、性质及运算,泰勒级数,初等函数的幂级数展开式;

15.傅立叶级数:三角级数,正交函数系,以2为周期的傅立叶级数,以2为周期的傅立叶级数,奇函数和偶函数的傅立叶级数,收敛定理及证明;

16.多元函数的极限与连续:平面点集,R2上的完备性定理,二元函数,n元函数,二元函数的极限,累次极限,二元函数的连续性概念,有界闭域上连续函数的性质;

17.多元函数微分学:可微性与全微分,偏导数,可微性的条件、几何意义及应用,复合函数的求导法则,复合函数的全微分,方向导数与梯度,高阶偏导数,中值定理与泰勒公式,极值问题;

18.隐函数定理及其应用:隐函数的概念、存在条件,隐函数定理,隐函数求导,隐函数组的概念,隐函数组定理,反函数组与坐标变换,平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,条件极值;

19.含参量积分:含参量正常积分,含参量反常积分的一致收敛性及其判别法,含参量反常积分的性质,欧拉积分;

20.曲线积分:第一型曲线积分的定义与计算,第二型曲线积分的定义与计算;两类曲线积分的联系;

21.重积分:二重积分的定义、存在性及性质,直角坐标系下二重积分的计算,格林公式,曲线积分与路线无关性,二重积分的变量变换公式,极坐标系下二重积分的计算,三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,曲面的面积、重心、转动惯量及引力的计算;

22.曲面积分:第一型曲面积分的定义与计算,第二型曲面积分的定义与计算;两类曲面积分的联系,高斯公式与斯托克斯公式。

 

本课程参考教材:《数学分析》(第三版)(上、下册),华东师范大学数学系编。

【责任编辑:小布】

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